Pythagore de Samos, grec, -560?/-480?

Astronome, philosophe, musicologue, ce célèbre savant, disciple de Thalès, nous est connu par ses disciples et successeurs, les Pythagoriciens (également dits Pythagoréens ou Pythagoristes).

Aucun écrit ne nous est parvenu. Pour plus d'objectivité, on doit se fier principalement aux historiens de l'Antiquité tels Hérodote, Proclus, Diogène Laërce. Personnage mythique (il laisse se propager la rumeur selon laquelle il serait le fils d'Apollon), Pythagore créa son école à Crotone, laquelle devint rapidement une secte aux règles de vie très sévères. Devenant alors dérangeant, persona non grata, il mourra assassiné dans des conditions obscures, certains historiens avançant l'incendie de son école.

On attribue à Pythagore, en son école, l'origine du terme mathématiques au sens grec de mathematikos = celui qui veut apprendre (scientifiquement), forgé sur mathêma = ce qui est enseigné, la connaissance.

Pythagore est le premier théoricien de la technique des nombres, en un mot : l'arithmétique, sur laquelle il fonda sa philosophie : l'harmonie du Monde est régie par les nombres entiers, le pair, l'impair et la décade : la dizaine.

Les Pythagoriciens annoncent là une rupture avec le système sexagésimal des Chaldéens dont l'usage se perpétuera cependant en astronomie.

Selon certains auteurs ( ci-après), Pythagore, ou plus certainement ses disciples de l'école de Crotone, auraient affirmé la sphéricité de la Terre tournant, ainsi que les autres astres (soleil compris), autour d'un feu central invisible (Hestia = le Foyer).

Cette vision pyrocentrique de l'univers fut en fait introduite par Philolaos de Crotone, philosophe et disciple direct de Pythagore, et annonce la théorie héliocentrique (le Soleil est au centre de notre système planétaire) hélas mise à l'écart par Eudoxe et Aristote. Bien que défendue par le grand astronome Aristarque un siècle et demi plus tard, le non moins célèbre Ptolémée prôna le géocentrisme (la Terre est au centre de l'Univers, le Soleil tourne autour) et plongea le monde dans l'erreur pendant 2000 ans jusqu'à l'entrée en scène de Galilée et de Copernic.

Pythagore et les Pythagoriciens (que sais-je n° 2732) de J.-F.- Mattei (1993) :
"Nous pouvons admirer cet étrange système de Philolaos qui eut peu de succès en son temps et dont les trois hardiesses prophétiques attendront 2000 ans avant de se réaliser : 1) la Terre et tous les astres sont sphériques 2) la Terre est un corps céleste de second plan 3) la Terre n'est pas en repos et n'occupe pas le centre du monde, comme ce sera le cas chez Platon et Aristote."

Nouveau Larousse illustré en 7 volumes (1906, sous la dir. de Paul Augé), vol. 1, au titre Astronomie :
"Pythagore enseignait les deux mouvements de la Terre sur elle-même et autour du Soleil; il avait des vues élevées sur les systèmes planétaires mais elles manquaient de preuve, et leur vérité  fut complètement méconnue."

Dictionnaire Hachette encyclopédique (1997) :
"il entrevit le mouvement de la Terre sur elle-même et enseigna qu'elle était sphérique".

Astronomie moderne de R. Tocquet, préface de Louis Leprince-Ringuet (1965) :
"(...) il est difficile de préciser parmi les doctrines pythagoriciennes, celles qui appartiennent en propre au  Maître? Quoi qu'il en soit, les Pythagoriciens enseignaient que la Terre et le Soleil sont sphériques, que le Soleil décrit sur la sphère céleste un grand cercle, l'écliptique, dont le plan est incliné sur celui de l'équateur et il y a tout lieu de penser qu'ils enseignaient également que les planètes et les comètes tournent autour du Soleil."

Pythagore et les Pythagoriciens (que sais-je n° 2732) de J.-F.- Mattei (1993) :
"Pythagore enseignait la sphéricité de la Terre et du Monde non pour des raisons empiriques (comme les contours de l'ombre durant les éclipses) mais pour des raisons théoriques d'ordre harmonique, le plus beau des solides étant la sphère." : Pythagore parlait de la musique des sphères (les astres) que nous n'entendions pas car notre oreille, trop habituée, ne parvenait pas à les discerner...

Le célèbre théorème de Pythagore et les relations métriques dans le triangle rectangle :

Il affirme que dans un triangle ABC rectangle en A, le carré du côté qui sous-tend l'angle droit (hypoténuse) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :    cliquer sur la tablette pour l'agrandir

BC² = AB² + AC²

 

Ce résultat, que Pythagore ne semble pas avoir prouvé, est en fait antérieur au célèbre philosophe : on le retrouve 2000 ans avant J.-C. dans une tablette babylonienne cunéiforme (Plimpton 322, Université de Columbia, New York, USA).

Réciproquement :          

Si, dans un triangle ABC, le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle (en le sommet opposé au plus grand côté qui est alors son hypoténuse).

Le plus beau triangle de l'histoire des mathématiques est, sans conteste, le triangle de côtés 3, 4 et 5 : il est rectangle et est parfois nommé triangle d'or mais cette appellation est plutôt réservée à Roger Penrose. Pour ce triangle 3, 4, 5, on parle plutôt de triangle égyptien.

Les démonstrations du célèbre théorème, et de sa réciproque, sont présentes dans les Eléments d'Euclide et font l'objet des deux dernières propositions 47 et 48, du livre I. Selon certains auteurs, Pythagore aurait sacrifié, pour fêter sa découverte, entre 1 boeuf et tout un troupeau de 100 bœufs (soit une hécatombe, du grec hékaton = cent et boûs = boeuf) selon une tradition festive et religieuse de l'époque. Curieux cependant pour une secte végétarienne dont Pythagore était le ''gourou''...

1. Le triangle ABC est rectangle en C. AB = 20 et BC = 10. Calculer AC.  Rép : 103

2. Le triangle isocèle en A vérifiant AB = 9,99 et BC = 14,14 est-il rectangle ? Rép : non.
  on ne dira pas qu'il est presque rectangle ou qu'il est rectangle à 0,01 près !!! Il n'est pas rectangle. Point !..

3. Le triangle ABC vérifie BC = 7 cm, AC = 6 cm et ACB = 31°. Construire avec soin ce triangle. Est-il rectangle ? Rép : non car si ABC est rectangle, on doit avoir cos31° = 6/7, or...

Autres relations métriques dans le triangle rectangle :

De cette relation fondamentale découle d'autres égalités fort utiles, dites relations métriques dans le triangle rectangle comme (H désignant le pied de la hauteur issue de l'angle droit) :
 

   AB² = BH x BC

   AC² = CH x CB

   AH x BC = AB x AC ,  AH² = HB x HC  ,  1/AH² = 1/AB² + 1/AC²

Preuves : la première relation (donc aussi la seconde) peut être exprimée au moyen de la propriété de Thalès en remarquant que les triangles rectangles ABC et ABH sont semblables (mêmes mesures d'angles), donc quitte à modifier la figure en remplaçant ABH par AB'A' (ci-dessus) afin d'obtenir une configuration de Thalès avec AB' = BH et (B'A')//(BC), on a :

AB'/AB = B'A'/BC, soit BH/AB = AB/BC, soit AB² = BH x BC.

La troisième relation indiquée AH x BC = AB x AC, est évidente si on la considère en tant qu'égalité d'aires : ABC est un triangle d'aire (AH x BC)/2  mais aussi la "moitié d'un rectangle d'aire (AB x AC)/2.

La quatrième relation s'obtient en élevant au carré la 3ème et en utilisant la 1ère et la seconde pour remplacer AB² et AB². La dernière est conséquence de AH x BC = AB x AC : réduire au même dénominateur le membre de droite, utiliser ensuite que AB² + AC² = BC²...

Orthographe : un seul h à hypoténuse! Ne pas confondre avec hypothèse qui a deux h... : du grec hypothesis avec un sens étymologique proche, il est vrai :

• hypoténuse : du grec hupo = sous et teinein = tendre : côté qui sous-tend l'angle droit.
• hypothèse : du grec hupo = sous et theînai = poser , thesis = action de poser, dans le sens d'un propos que l'on place à la base de son discours et sur lequel on développe sa pensée (thèse).

 Une preuve élémentaire utilisant les aires se comprend aisément par la figure de gauche : on considère un carré de côté a + b; on prouve facilement que le quadrilatère intérieur (en vert) est un carré de côté noté c. Dans ces conditions :

4 x ab/2 + c² = (a + b)² = a² + b² + 2ab. Soit : c² = a² + b²
Cette preuve n'est pas sans rappeler celle du mathématicien indien Bhaskara.